Twierdzenie
Jeżeli value gracza < 1, to nie istnieje taki plan stawkowania, który przy skończonym kapitale gracza będzie dawał zyski w długim okresie czasu.
Dowód
Wprowadźmy oznaczenia:
X – zmienna losowa oznaczająca zysk gracza
EX - średni zysk gracza
x – wielkość stawki początkowej
a_i – (a z indeksem i) wielokrotność stawki początkowej, a_i >0
p – średnie prawdopodobieństwo sukcesu
k – średni kurs granych zdarzeń
Gracz postawi stawkę początkową x. Kolejne stawki będą większe lub mniejsze, co da się przedstawić jako sumę a_i•x. Będzie ona skończona, gdyż gracz posiada skończony kapitał. Jeśli gracz wygra, to jego kapitał będzie się średnio zwiększał o kurs k-1 z prawdopodobieństwem p. Jeśli przegra, traci średnio kapitał z prawdopodobieństwem q=1-p. Średni zysk gracza EX policzymy zatem ze wzoru:
Musimy wykazać, że jeżeli p•k<1, to EX < 0. Ponieważ x>0 oraz (suma a_i od i do n) > 0, dlatego wartość EX zależy tylko od znaku wyrażenia w nawiasach kwadratowych. Uwzględniając, że z założenia p•k<1 otrzymujemy: